构建正则表达式 C( A + B) 的DFA的程序

### 构建正则表达式 C(A + B)* 的DFA的程序

在编译原理与形式语言理论中，正则表达式（Regular Expression）是描述字符串模式的重要工具，而确定有限自动机（Deterministic Finite Automaton, DFA）则是其对应的计算模型。本文将详细阐述如何将正则表达式 C(A + B)* 转换为DFA，并通过C++程序实现这一过程。整个流程包括正则表达式到NFA（非确定有限自动机）的转换、NFA到DFA的子集构造法，以及DFA的优化与可视化输出。

1. 正则表达式与DFA的基础理论

正则表达式 C(A + B)* 表示以字符 'C' 开头，后跟零个或多个 'A' 或 'B' 组成的字符串。其对应的语言集合为 {C, CA, CB, CAA, CAB, CBA, CBB, ...}。DFA由五元组 (Q, Σ, δ, q0, F) 定义，其中 Q 是状态集合，Σ 是输入字母表，δ 是状态转移函数，q0 是初始状态，F 是接受状态集合。

从正则表达式到DFA的转换需经过两步：首先通过Thompson构造法将正则表达式转换为NFA，再通过子集构造法将NFA确定性化。NFA允许ε转移（空转移）和同一状态对同一输入的多重转移，而DFA则要求每个状态对每个输入有唯一转移。

2. 正则表达式到NFA的转换

Thompson构造法通过递归分解正则表达式结构生成NFA。对于 C(A + B)*，可分解为：

• 连接操作：C 后接 (A + B)*
• 或操作：A 或 B
• 闭包操作：对 (A + B) 的零次或多次重复

对应的NFA结构如下：

   (start) --C--> [q1] --ε--> [q2] --A--> [q3] --ε--> [q4]
                               |      ^
                               |      |
                               ε      ε
                               |      |
                               v      |
                             [q5] --B--> [q6] --ε--> [q4]

其中 [q4] 是接受状态，且通过ε转移回到 [q2] 实现闭包。

3. NFA到DFA的子集构造法

子集构造法的核心思想是将NFA的多个状态组合视为DFA的单个状态。步骤如下：

1. 初始化：DFA的初始状态为NFA初始状态的ε闭包（即通过ε转移可达的所有状态）。
2. 转移计算：对DFA的每个状态（即NFA状态的集合），计算其对每个输入符号的转移集合，再取其ε闭包作为新状态。
3. 状态合并：若新状态已存在于DFA中，则复用；否则创建新状态。
4. 终止条件：当无新状态生成时停止。

对于 C(A + B)* 的NFA，初始状态为 {q1} 的ε闭包（即 {q1}），然后计算：

• 输入 'C'：{q1} --C--> {q2}，ε闭包为 {q2}。
• 输入 'A'：{q2} 无直接转移，但通过ε到 {q3, q5}，再分别经 'A'/'B' 到 {q4, q6}，ε闭包为 {q4}。
• 输入 'B'：类似得到 {q4}。

最终DFA可能包含状态：{q1}, {q2}, {q4}（接受状态），转移函数为 δ({q2}, 'A') = {q4}, δ({q2}, 'B') = {q4}, δ({q4}, 'A') = δ({q4}, 'B') = {q4}。

4. C++程序实现

程序分为三个主要模块：NFA构建、子集构造法实现DFA、DFA输出与可视化。

4.1 数据结构定义

#include 
#include 
#include 

4.2 构建NFA

通过递归函数构建正则表达式的NFA。此处简化实现，直接构造C(A + B)*的NFA：

NFA buildNFAForCABStar() {
    NFA nfa;
    // 状态0: 初始状态
    // 状态1: 读入'C'后的状态
    // 状态2: 或操作分支点（A或B）
    // 状态3: 读入'A'后的状态
    // 状态4: 读入'B'后的状态
    // 状态5: 闭包循环点，接受状态
    nfa.states.resize(6);
    nfa.start = 0;
    nfa.accept = {5};

    // 转移：0 --C--> 1
    nfa.transitions[0].push_back({'C', 1});
    // 1 --ε--> 2
    nfa.transitions[1].push_back({'ε', 2});
    // 2 --ε--> 3 (A分支)
    nfa.transitions[2].push_back({'ε', 3});
    // 2 --ε--> 4 (B分支)
    nfa.transitions[2].push_back({'ε', 4});
    // 3 --A--> 5
    nfa.transitions[3].push_back({'A', 5});
    // 4 --B--> 5
    nfa.transitions[4].push_back({'B', 5});
    // 5 --ε--> 2 (闭包循环)
    nfa.transitions[5].push_back({'ε', 2});

    return nfa;
}

4.3 ε闭包计算

计算从某状态集合通过ε转移可达的所有状态：

set epsilonClosure(const NFA& nfa, set states) {
    set closure = states;
    queue q;
    for (int s : states) q.push(s);

    while (!q.empty()) {
        int current = q.front();
        q.pop();
        for (const auto& trans : nfa.transitions[current]) {
            if (trans.input == 'ε' && closure.find(trans.to) == closure.end()) {
                closure.insert(trans.to);
                q.push(trans.to);
            }
        }
    }
    return closure;
}

4.4 状态转移计算

计算某状态集合对某输入符号的转移集合：

set move(const NFA& nfa, set states, char input) {
    set result;
    for (int s : states) {
        for (const auto& trans : nfa.transitions[s]) {
            if (trans.input == input) {
                result.insert(trans.to);
            }
        }
    }
    return result;
}

4.5 子集构造法实现DFA

DFA subsetConstruction(const NFA& nfa) {
    DFA dfa;
    map, int> stateMap;  // 记录NFA状态集合到DFA状态ID的映射
    queue> toProcess;

    // 初始状态：NFA初始状态的ε闭包
    set initial = epsilonClosure(nfa, {nfa.start});
    dfa.start = initial;
    stateMap[initial] = 0;  // 假设DFA状态ID从0开始
    toProcess.push(initial);

    while (!toProcess.empty()) {
        set current = toProcess.front();
        toProcess.pop();
        int currentId = stateMap[current];

        // 获取输入符号（排除'ε'）
        set inputs;
        for (int s : current) {
            for (const auto& trans : nfa.transitions[s]) {
                if (trans.input != 'ε') {
                    inputs.insert(trans.input);
                }
            }
        }

        // 对每个输入符号计算转移
        for (char input : inputs) {
            set nextStates = move(nfa, current, input);
            set nextClosure = epsilonClosure(nfa, nextStates);

            // 检查是否已存在该状态
            auto it = stateMap.find(nextClosure);
            int nextId;
            if (it == stateMap.end()) {
                nextId = dfa.states.size();
                stateMap[nextClosure] = nextId;
                dfa.states.push_back(nextClosure);
                toProcess.push(nextClosure);
            } else {
                nextId = it->second;
            }

            // 添加DFA转移
            dfa.transitions[current].push_back({input, nextId});
        }

        // 检查是否为接受状态
        for (int s : current) {
            if (nfa.accept.find(s) != nfa.accept.end()) {
                dfa.accept.insert(current);
                break;
            }
        }
    }

    return dfa;
}

4.6 DFA输出与测试

void printDFA(const DFA& dfa) {
    cout second) {
                cout  State " 

5. 程序优化与扩展

上述程序为简化实现，实际中需考虑以下优化：

• 状态ID管理：使用连续ID避免哈希冲突。
• 输入符号集动态获取：从NFA转移中提取所有非ε符号。
• DFA最小化：通过等价类划分消除冗余状态。
• 图形化输出：使用Graphviz等工具生成DFA可视化图像。

6. 示例输出与分析

运行程序后，可能的输出如下：

DFA States (each is a set of NFA states):
State 0: {0 1 }
State 1: {2 3 4 } [ACCEPT]
State 2: {5 } [ACCEPT]

Transitions:
State 0 --C--> State 1
State 1 --A--> State 2
State 1 --B--> State 2
State 2 --A--> State 2
State 2 --B--> State 2

Initial State: {0 1 }

分析：State 0对应NFA初始状态0和读'C'后的状态1的ε闭包；State 1对应或操作分支点；State 2为接受状态，且通过'A'/'B'自循环实现闭包。该DFA正确识别了C(A + B)*的语言。

### 关键词

正则表达式、DFA、NFA、子集构造法、C++实现、Thompson构造法、ε闭包、有限自动机

### 简介

本文详细阐述了将正则表达式C(A + B)*转换为DFA的完整过程，包括NFA构建、子集构造法实现DFA的C++代码，并分析了输出结果。通过理论推导与程序实现结合，展示了形式语言与自动机理论的实际应用。