### 构建正则表达式 C(A + B)* 的DFA的程序
在编译原理与形式语言理论中，正则表达式（Regular Expression）是描述字符串模式的重要工具，而确定有限自动机（Deterministic Finite Automaton, DFA）则是其对应的计算模型。本文将详细阐述如何将正则表达式 C(A + B)* 转换为DFA，并通过C++程序实现这一过程。整个流程包括正则表达式到NFA（非确定有限自动机）的转换、NFA到DFA的子集构造法，以及DFA的优化与可视化输出。
1. 正则表达式与DFA的基础理论
正则表达式 C(A + B)* 表示以字符 'C' 开头，后跟零个或多个 'A' 或 'B' 组成的字符串。其对应的语言集合为 {C, CA, CB, CAA, CAB, CBA, CBB, ...}。DFA由五元组 (Q, Σ, δ, q0, F) 定义，其中 Q 是状态集合，Σ 是输入字母表，δ 是状态转移函数，q0 是初始状态，F 是接受状态集合。
从正则表达式到DFA的转换需经过两步：首先通过Thompson构造法将正则表达式转换为NFA，再通过子集构造法将NFA确定性化。NFA允许ε转移（空转移）和同一状态对同一输入的多重转移，而DFA则要求每个状态对每个输入有唯一转移。
2. 正则表达式到NFA的转换
Thompson构造法通过递归分解正则表达式结构生成NFA。对于 C(A + B)*，可分解为：
- 连接操作：C 后接 (A + B)*
- 或操作：A 或 B
- 闭包操作：对 (A + B) 的零次或多次重复
对应的NFA结构如下：
(start) --C--> [q1] --ε--> [q2] --A--> [q3] --ε--> [q4]
| ^
| |
ε ε
| |
v |
[q5] --B--> [q6] --ε--> [q4]
其中 [q4] 是接受状态，且通过ε转移回到 [q2] 实现闭包。
3. NFA到DFA的子集构造法
子集构造法的核心思想是将NFA的多个状态组合视为DFA的单个状态。步骤如下：
- 初始化：DFA的初始状态为NFA初始状态的ε闭包（即通过ε转移可达的所有状态）。
- 转移计算：对DFA的每个状态（即NFA状态的集合），计算其对每个输入符号的转移集合，再取其ε闭包作为新状态。
- 状态合并：若新状态已存在于DFA中，则复用；否则创建新状态。
- 终止条件：当无新状态生成时停止。
对于 C(A + B)* 的NFA，初始状态为 {q1} 的ε闭包（即 {q1}），然后计算：
- 输入 'C'：{q1} --C--> {q2}，ε闭包为 {q2}。
- 输入 'A'：{q2} 无直接转移，但通过ε到 {q3, q5}，再分别经 'A'/'B' 到 {q4, q6}，ε闭包为 {q4}。
- 输入 'B'：类似得到 {q4}。
最终DFA可能包含状态：{q1}, {q2}, {q4}（接受状态），转移函数为 δ({q2}, 'A') = {q4}, δ({q2}, 'B') = {q4}, δ({q4}, 'A') = δ({q4}, 'B') = {q4}。
4. C++程序实现
程序分为三个主要模块：NFA构建、子集构造法实现DFA、DFA输出与可视化。
4.1 数据结构定义
#include
#include
#include 4.2 构建NFA
通过递归函数构建正则表达式的NFA。此处简化实现，直接构造C(A + B)*的NFA：
NFA buildNFAForCABStar() {
NFA nfa;
// 状态0: 初始状态
// 状态1: 读入'C'后的状态
// 状态2: 或操作分支点（A或B）
// 状态3: 读入'A'后的状态
// 状态4: 读入'B'后的状态
// 状态5: 闭包循环点，接受状态
nfa.states.resize(6);
nfa.start = 0;
nfa.accept = {5};
// 转移：0 --C--> 1
nfa.transitions[0].push_back({'C', 1});
// 1 --ε--> 2
nfa.transitions[1].push_back({'ε', 2});
// 2 --ε--> 3 (A分支)
nfa.transitions[2].push_back({'ε', 3});
// 2 --ε--> 4 (B分支)
nfa.transitions[2].push_back({'ε', 4});
// 3 --A--> 5
nfa.transitions[3].push_back({'A', 5});
// 4 --B--> 5
nfa.transitions[4].push_back({'B', 5});
// 5 --ε--> 2 (闭包循环)
nfa.transitions[5].push_back({'ε', 2});
return nfa;
}
4.3 ε闭包计算
计算从某状态集合通过ε转移可达的所有状态：
set epsilonClosure(const NFA& nfa, set states) {
set closure = states;
queue q;
for (int s : states) q.push(s);
while (!q.empty()) {
int current = q.front();
q.pop();
for (const auto& trans : nfa.transitions[current]) {
if (trans.input == 'ε' && closure.find(trans.to) == closure.end()) {
closure.insert(trans.to);
q.push(trans.to);
}
}
}
return closure;
}
4.4 状态转移计算
计算某状态集合对某输入符号的转移集合：
set move(const NFA& nfa, set states, char input) {
set result;
for (int s : states) {
for (const auto& trans : nfa.transitions[s]) {
if (trans.input == input) {
result.insert(trans.to);
}
}
}
return result;
}
4.5 子集构造法实现DFA
DFA subsetConstruction(const NFA& nfa) {
DFA dfa;
map, int> stateMap; // 记录NFA状态集合到DFA状态ID的映射
queue> toProcess;
// 初始状态：NFA初始状态的ε闭包
set initial = epsilonClosure(nfa, {nfa.start});
dfa.start = initial;
stateMap[initial] = 0; // 假设DFA状态ID从0开始
toProcess.push(initial);
while (!toProcess.empty()) {
set current = toProcess.front();
toProcess.pop();
int currentId = stateMap[current];
// 获取输入符号（排除'ε'）
set inputs;
for (int s : current) {
for (const auto& trans : nfa.transitions[s]) {
if (trans.input != 'ε') {
inputs.insert(trans.input);
}
}
}
// 对每个输入符号计算转移
for (char input : inputs) {
set nextStates = move(nfa, current, input);
set nextClosure = epsilonClosure(nfa, nextStates);
// 检查是否已存在该状态
auto it = stateMap.find(nextClosure);
int nextId;
if (it == stateMap.end()) {
nextId = dfa.states.size();
stateMap[nextClosure] = nextId;
dfa.states.push_back(nextClosure);
toProcess.push(nextClosure);
} else {
nextId = it->second;
}
// 添加DFA转移
dfa.transitions[current].push_back({input, nextId});
}
// 检查是否为接受状态
for (int s : current) {
if (nfa.accept.find(s) != nfa.accept.end()) {
dfa.accept.insert(current);
break;
}
}
}
return dfa;
}
4.6 DFA输出与测试
void printDFA(const DFA& dfa) {
cout second) {
cout State " 5. 程序优化与扩展
上述程序为简化实现，实际中需考虑以下优化：
- 状态ID管理：使用连续ID避免哈希冲突。
- 输入符号集动态获取：从NFA转移中提取所有非ε符号。
- DFA最小化：通过等价类划分消除冗余状态。
- 图形化输出：使用Graphviz等工具生成DFA可视化图像。
6. 示例输出与分析
运行程序后，可能的输出如下：
DFA States (each is a set of NFA states):
State 0: {0 1 }
State 1: {2 3 4 } [ACCEPT]
State 2: {5 } [ACCEPT]
Transitions:
State 0 --C--> State 1
State 1 --A--> State 2
State 1 --B--> State 2
State 2 --A--> State 2
State 2 --B--> State 2
Initial State: {0 1 }
分析：State 0对应NFA初始状态0和读'C'后的状态1的ε闭包；State 1对应或操作分支点；State 2为接受状态，且通过'A'/'B'自循环实现闭包。该DFA正确识别了C(A + B)*的语言。
### 关键词
正则表达式、DFA、NFA、子集构造法、C++实现、Thompson构造法、ε闭包、有限自动机
### 简介
本文详细阐述了将正则表达式C(A + B)*转换为DFA的完整过程，包括NFA构建、子集构造法实现DFA的C++代码，并分析了输出结果。通过理论推导与程序实现结合，展示了形式语言与自动机理论的实际应用。
