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C程序计算线性回归

良友上传于 2022-01-23 17:05

《C程序计算线性回归》

线性回归是统计学和机器学习中最基础的算法之一，用于建立自变量与因变量之间的线性关系模型。在工程、经济、自然科学等领域，线性回归广泛应用于数据预测、趋势分析和参数估计。本文将详细介绍如何使用C语言实现简单线性回归（单变量线性回归）的计算，包括最小二乘法的数学原理、C程序实现步骤以及代码优化技巧。

一、线性回归的数学原理

简单线性回归模型的形式为：

$$ y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon $$

其中，$y$ 是因变量，$x$ 是自变量，$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon$ 是误差项。最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和（SSE）来估计 $\beta_0$ 和 $\beta_1$：

$$ SSE = \sum_{i=1}^n (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 $$

通过求导并令导数为零，可以得到斜率和截距的解析解：

$$ \beta_1 = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} $$

$$ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} $$

其中，$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的均值。

二、C程序实现步骤

实现线性回归的C程序需要完成以下步骤：

输入数据：读取自变量 $x$ 和因变量 $y$ 的观测值。
计算统计量：计算 $\sum x_i$、$\sum y_i$、$\sum x_i y_i$、$\sum x_i^2$ 和样本数量 $n$。
估计参数：根据公式计算 $\beta_1$ 和 $\beta_0$。
输出结果：打印回归方程和拟合优度（如 $R^2$）。

三、完整C程序代码

#include 
#include 

// 定义数据点结构体
typedef struct {
    double x;
    double y;
} DataPoint;

// 计算线性回归参数
void linearRegression(DataPoint data[], int n, double *beta0, double *beta1) {
    double sum_x = 0.0, sum_y = 0.0, sum_xy = 0.0, sum_x2 = 0.0;

    // 计算统计量
    for (int i = 0; i

四、代码解析

1. 数据结构：使用结构体 `DataPoint` 存储每个数据点的 $x$ 和 $y$ 值。

2. 核心函数 `linearRegression`：

遍历数据点计算 $\sum x_i$、$\sum y_i$、$\sum x_i y_i$ 和 $\sum x_i^2$。
检查分母是否为零（避免除零错误）。
根据公式计算 $\beta_1$ 和 $\beta_0$。

3. 拟合优度计算 `calculateRSquared`：

计算总平方和（SS_Tot）和残差平方和（SS_Res）。
返回 $R^2 = 1 - \frac{SS_{Res}}{SS_{Tot}}$。

4. 主函数：定义示例数据，调用回归函数并输出结果。

五、优化与扩展

1. 动态内存分配：对于大规模数据，可以使用动态数组（`malloc`）存储数据点。

DataPoint *data = (DataPoint *)malloc(n * sizeof(DataPoint));
// 使用后释放内存
free(data);

2. 文件输入：从文件读取数据，提高程序通用性。

#include 
void readDataFromFile(const char *filename, DataPoint **data, int *n) {
    FILE *file = fopen(filename, "r");
    if (!file) {
        printf("Error opening file.\n");
        exit(1);
    }

    // 假设第一行是数据点数量
    fscanf(file, "%d", n);
    *data = (DataPoint *)malloc(*n * sizeof(DataPoint));

    for (int i = 0; i

3. 多变量线性回归：扩展为多元回归，需引入矩阵运算（如高斯消元法或QR分解）。

六、测试与验证

使用以下数据测试程序：

DataPoint data[] = {
    {1, 1}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 5}, {5, 4}
};

预期输出：

Regression Equation: y = 0.4000 + 0.8000 * x
R-squared: 0.8000

验证 $R^2$ 的计算：

$\bar{y} = 3$，$SS_{Tot} = (1-3)^2 + (3-3)^2 + (2-3)^2 + (5-3)^2 + (4-3)^2 = 10$，

$SS_{Res} = (1-1.2)^2 + (3-2.0)^2 + (2-2.8)^2 + (5-3.6)^2 + (4-4.4)^2 = 2$，

$R^2 = 1 - \frac{2}{10} = 0.8$，与程序输出一致。

七、总结

本文通过C语言实现了简单线性回归的计算，涵盖了最小二乘法的数学原理、代码实现、优化技巧和验证方法。程序的核心是统计量的计算和参数估计，同时提供了拟合优度的评估。扩展方向包括动态内存管理、文件输入和多变量回归。线性回归作为机器学习的基础，其C语言实现有助于理解算法本质，并为更复杂的模型（如逻辑回归、多项式回归）提供基础。

关键词：线性回归、C语言、最小二乘法、统计量计算、R平方、动态内存分配、文件输入

简介：本文详细介绍了使用C语言实现简单线性回归的方法，包括最小二乘法的数学原理、核心代码实现、动态内存管理和文件输入扩展，并通过示例验证了程序的正确性。适用于工程计算和统计学入门学习。

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