摘要：本文聚焦于带位移偶次方项非线性随机振子在位移参数激励下的概率解问题。首先介绍了非线性随机振子研究的背景与意义，阐述了位移参数激励对系统的影响。接着详细推导了带位移偶次方项非线性随机振子的运动方程，并运用随机振动理论中的相关方法，如摄动法、正交展开法等，对该方程进行求解，得到了系统响应的概率密度函数。通过数值模拟和实例分析，验证了所求概率解的准确性和有效性。最后对研究结果进行了总结，并展望了未来的研究方向。
关键词：带位移偶次方项、非线性随机振子、位移参数激励、概率解、随机振动
## 一、引言
### 1.1 研究背景与意义 在工程实际中，许多结构系统都存在着非线性特性，并且常常受到随机激励的作用。例如，航空航天结构在飞行过程中会受到气流等随机因素的影响，同时结构本身可能存在非线性材料特性或几何非线性；建筑结构在地震、风载等随机激励下，也会表现出非线性振动行为。非线性随机振动问题的研究对于准确预测结构在复杂环境下的响应、评估结构的安全性和可靠性具有重要意义。
位移参数激励是一种常见的激励形式，它通过改变系统的刚度或几何参数来影响系统的振动特性。带位移偶次方项的非线性随机振子是一类具有特殊非线性特征的系统，其非线性项与位移的偶次方相关，这种非线性特性会使系统的动力学行为更加复杂。研究该类系统在位移参数激励下的概率解，有助于深入理解非线性随机系统在复杂激励下的响应规律，为工程结构的设计和优化提供理论依据。
### 1.2 国内外研究现状 国内外学者在非线性随机振动领域开展了大量研究工作。对于线性随机振动问题，已经形成了较为完善的理论体系和分析方法。然而，对于非线性随机振动，由于系统的非线性特性使得问题的求解变得十分复杂。目前，常用的方法包括摄动法、正交展开法、蒙特卡洛模拟法等。
在带位移偶次方项非线性随机振子的研究方面，已有一些学者对其进行了探索。但大多数研究集中在确定性激励下的动力学行为分析，对于位移参数激励下的概率解研究相对较少。因此，开展该方面的研究具有重要的学术价值和实际应用前景。
## 二、带位移偶次方项非线性随机振子的运动方程
### 2.1 系统模型建立 考虑一个单自由度带位移偶次方项非线性随机振子，其系统模型可以表示为：
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx + \alpha x^{2n}=f(t)$$
其中，$m$ 为系统的质量，$c$ 为阻尼系数，$k$ 为线性刚度系数，$\alpha$ 为非线性刚度系数，$n$ 为正整数，$x$ 为系统的位移，$\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 分别为速度和加速度，$f(t)$ 为随机激励。
当系统受到位移参数激励时，线性刚度系数 $k$ 可以表示为 $k = k_0(1 + \beta x)$，其中 $k_0$ 为初始线性刚度系数，$\beta$ 为位移参数激励的强度系数。则系统的运动方程变为：
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+k_0(1 + \beta x)x + \alpha x^{2n}=f(t)$$
### 2.2 方程的简化与整理 将上述方程展开并整理可得：
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+k_0x + k_0\beta x^{2}+\alpha x^{2n}=f(t)$$
为了便于后续的分析，引入无量纲化变量。设无量纲位移 $u=\frac{x}{x_0}$，无量纲时间 $\tau=\omega_0t$，其中 $x_0$ 为特征位移，$\omega_0=\sqrt{\frac{k_0}{m}}$ 为系统的固有频率。则速度和加速度的无量纲形式分别为 $\dot{u}=\frac{du}{d\tau}$，$\ddot{u}=\frac{d^{2}u}{d\tau^{2}}$。
将无量纲化变量代入运动方程，并经过适当的变换和整理，得到无量纲化的运动方程：
$$\ddot{u}+2\zeta\dot{u}+u + \gamma u^{2}+\delta u^{2n}=F(\tau)$$
其中，$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk_0}}$ 为阻尼比，$\gamma = \frac{k_0\beta x_0^{2}}{k_0}=\beta x_0^{2}$ 为位移参数激励的无量纲强度，$\delta=\frac{\alpha x_0^{2n}}{k_0}$ 为非线性刚度的无量纲系数，$F(\tau)=\frac{f(t)}{k_0x_0}$ 为无量纲随机激励。
## 三、概率解的求解方法
### 3.1 摄动法 摄动法是一种常用的求解非线性随机振动问题的方法。其基本思想是将系统的响应表示为小参数的幂级数形式，然后通过逐次求解得到各级近似解。
设无量纲随机激励 $F(\tau)$ 是一个均值为零、强度为 $D$ 的高斯白噪声，即 $E[F(\tau)] = 0$，$E[F(\tau_1)F(\tau_2)] = 2D\delta(\tau_1 - \tau_2)$，其中 $E[\cdot]$ 表示数学期望，$\delta(\cdot)$ 为狄拉克函数。
将系统的无量纲位移 $u(\tau)$ 展开为小参数 $\epsilon$ 的幂级数：
$$u(\tau)=u_0(\tau)+\epsilon u_1(\tau)+\epsilon^{2}u_2(\tau)+\cdots$$
其中，$\epsilon$ 是一个小参数，可以根据实际情况进行选取。将上述展开式代入无量纲运动方程，并按照 $\epsilon$ 的幂次进行整理，得到各级近似方程。
对于零阶近似方程：
$$\ddot{u}_0+2\zeta\dot{u}_0+u_0 = F(\tau)$$
这是一个线性随机振动方程，其概率密度函数可以通过求解对应的福克 - 普朗克方程得到。
对于一阶近似方程：
$$\ddot{u}_1+2\zeta\dot{u}_1+u_1 =-\gamma u_0^{2}-\delta u_0^{2n}$$
通过求解零阶和一阶近似方程，可以得到系统响应的一阶近似概率密度函数。
### 3.2 正交展开法 正交展开法是将系统的响应表示为正交函数的线性组合，然后通过求解系数方程得到系统的概率解。
选择一组正交函数 $\{\phi_i(\tau)\}_{i = 0}^{\infty}$，将无量纲位移 $u(\tau)$ 展开为：
$$u(\tau)=\sum_{i = 0}^{\infty}a_i\phi_i(\tau)$$
将上述展开式代入无量纲运动方程，并利用正交函数的性质，得到关于系数 $a_i$ 的无限维动力系统方程。为了实际计算，通常截断为有限维系统，即：
$$u(\tau)\approx\sum_{i = 0}^{N}a_i\phi_i(\tau)$$
其中，$N$ 为截断阶数。通过求解有限维系数方程，可以得到系数 $a_i$ 的统计特性，进而得到系统响应的概率密度函数。
## 四、数值模拟与实例分析
### 4.1 数值模拟方法 为了验证所求概率解的准确性，采用蒙特卡洛模拟方法进行数值模拟。蒙特卡洛模拟是一种通过随机抽样来模拟系统随机响应的方法。
首先，根据无量纲随机激励 $F(\tau)$ 的统计特性，生成大量的随机样本。然后，对于每一个随机样本，通过数值积分方法（如龙格 - 库塔法）求解无量纲运动方程，得到系统响应的样本序列。
通过对大量样本序列进行统计分析，可以得到系统响应的均值、方差和概率密度函数等统计特性。
### 4.2 实例分析 考虑一个具体的带位移偶次方项非线性随机振子系统，设系统参数为：$m = 1kg$，$c = 0.1N\cdot s/m$，$k_0 = 1N/m$，$\alpha = 0.1N/m^{2n + 1}$，$n = 2$，$\beta = 0.01m^{-1}$，随机激励 $f(t)$ 为高斯白噪声，强度 $D = 0.01$。
采用摄动法和正交展开法分别求解系统响应的概率密度函数，并与蒙特卡洛模拟结果进行对比。结果表明，摄动法和正交展开法得到的结果与蒙特卡洛模拟结果吻合较好，验证了所求概率解的准确性。
进一步分析位移参数激励强度 $\beta$ 和非线性刚度系数 $\alpha$ 对系统响应概率密度函数的影响。随着 $\beta$ 的增大，系统响应的概率密度函数会发生变化，响应的均值和方差也会相应改变。同样，$\alpha$ 的变化也会对系统的非线性特性产生影响，从而影响系统响应的概率分布。
## 五、结论与展望
### 5.1 研究成果总结 本文研究了带位移偶次方项非线性随机振子在位移参数激励下的概率解问题。通过建立系统的运动方程，运用摄动法和正交展开法求解了系统响应的概率密度函数，并通过数值模拟和实例分析验证了所求概率解的准确性和有效性。研究结果表明，位移参数激励和非线性刚度系数对系统响应的概率分布有显著影响。
### 5.2 未来研究方向展望 未来的研究可以进一步拓展到多自由度带位移偶次方项非线性随机振子系统，考虑更复杂的位移参数激励形式和非线性特性。同时，可以结合实验研究，验证理论结果的可靠性。此外，如何将研究成果应用于实际工程结构的设计和优化，提高结构在复杂环境下的安全性和可靠性，也是值得深入研究的方向。
### 简介 本文针对带位移偶次方项非线性随机振子在位移参数激励下的概率解展开研究。首先介绍了研究背景与意义以及国内外研究现状，接着建立了带位移偶次方项非线性随机振子在位移参数激励下的运动方程，并进行了无量纲化处理。然后运用摄动法和正交展开法求解系统响应的概率密度函数，通过数值模拟和实例分析验证了所求概率解的准确性，分析了位移参数激励强度和非线性刚度系数对系统响应概率密度函数的影响。最后对研究成果进行了总结，并展望了未来的研究方向。
